Question

設(shè)數(shù)列滿足，令.

⑴試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵令，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對一切

都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

    ⑶比較與的大小．

Answer 1

解析： ⑴由已知得,

即,                              …………2分

所以,即,                     

又,所以數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.    …………6分

(2)令，由，得

 

所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，                                 …………8分

所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，

若不等式對一切都成立，只需，解得，

又，所以的取值范圍為．              …………12分

（3）問題可轉(zhuǎn)化為比較與的大小．設(shè)函數(shù)，所以．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)；

在上為減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，顯然有，

當(dāng)時(shí)，，即，所以，

即所以．

綜上：當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，即．                …………16分