已知數列
滿足
，
．
（1）求
的值，由此猜測的通項公式，并證明你的結論；
（2）證明：
．
（1）猜想
，證明詳見解析；（2）證明詳見解析.
解析試題分析：（1）根據遞推關系，依次附值
即可得到的取值，進而作出猜想，然后再用數學歸納法證明即可；（2）先化簡
，進而采用放縮法得到
，進而將
取1，2，3，……，時的不等式相乘即可證明不等式
，然后構造函數
，確定該函數在區間
上的單調性，進而得到
在恒成立，從而可得
即
，問題得以證明.
（1）令可知
，
，
猜想，下用數學歸納法證明.
（1）
時，顯然成立；
（2）假設
時，命題成立.即
.
當
時，由題可知
.
故時，命題也成立.
由（1）（2）可知，.
（2）證明：∵
∴
由于
，可令函數，則
，令
，得
，給定區間，則有
，則函數
在上單調遞減，∴
，即在恒成立，又
，則有，即
所以
.
考點：1.數學歸納法；2.數列不等式的證明——放縮法、構造函數法、數學歸納法等.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知實數
，且
按某種順序排列成等差數列．
（1）求實數
的值；
（2）若等差數列
的首項和公差都為，等比數列
的首項和公比都為，數列和的前
項和分別為
，且
，求滿足條件的自然數的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的前三項分別為
，
，
，（其中
為正常數）。設
。
（1）歸納出數列的通項公式，并證明數列不可能為等比數列；
（2）若=1，求
的值；
（3）若=4，試證明：當
時，
．
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的前
項和
，則
．
的前n項和
滿足
、
、
；
有
的前
項和為
滿足
，且
.
的值；
，
滿足
，
，
，數列
項和為
，
.
；
時，
．
中，
，且
成等比數列.
，證明：
.
的通項
，
.
；
，求數列
的最大項和最小項.