Question

設數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，已知．
（1）證明數列{a_n}是等差數列，并求其通項公式；
（2）證明：對任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴當n≥2時，．
兩式相減得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又，∴a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1為首項，d=2為公差的等差數列．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知，
∴，
于是
=，
∴；
（3）結論成立，證明如下：
設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則，
于是
=，
將m+p=2k代入得，，
∴S_m+S_p≥2S_k，
又
=，
∴．
分析：（1）由所給等式得，當n≥2時，，然后兩式作差得a_n-a_n-1=2，由此可判斷數列{a_n}是等差數列，利用通項公式即可求得；
（2）利用等差數列求和公式表示出+-，再用基本不等式證明該式大于等于0即可；
（3）先用作差法證明S_m+S_p≥2S_k，再用基本不等式證明，由此即可證明結論；
點評：本題考查等差數列的求和公式、通項公式，基本不等式的應用，考查學生綜合運用所學知識分析解決問題的能力．