Question

平面內與兩定點連線的斜率之積等于常數（的點的軌跡，連同兩點所成的曲線為C．

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀；

（II）設,，對應的曲線是，已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且,其中O為坐標原點，探究 是否為定值，寫出解答過程。

Answer 1

 解：（Ⅰ）設動點為M，其坐標為，

    當時，由條件可得

即，又的坐標滿足

故依題意，曲線C的方程為

當曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；

當時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓；

當時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；  ……6分

（Ⅱ）解：：

當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，

所以因為在橢圓上，因此       ①

又因為所以        ②

由①、②得此時

   當直線的斜率存在時，設直線的方程為

將其代入，得，

其中即         （*）

又，

所以

因為點O到直線的距離為所以

又整理得且符合（*）式，

此時

綜上所述結論成立                                      ……13分

（Ⅱ）解法2：

令P，Q

化簡得

又P，Q在

則

代入得，