Question

某同學參加某高校自主招生3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為

4

5

，第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優秀成績相互獨立．記ξ為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為

ξ	0	1	2	3
pi	6 125	x	y	24 125

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用A_i表示“該生第i門課程取得優秀成績”，i=1，2，3．由題意得P(A1)=

4

5

，P(

.

A

1

.

A

2

.

A

3)=

6

125

，由此能求出該生至少有一門課程取得優秀成績的概率．從而能夠求出p，q的值．
（Ⅱ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，由此能夠求出數學期望Eξ．

解答：解：用A_i表示“該生第i門課程取得優秀成績”，i=1，2，3．
由題意得P(A1)=

4

5

，P(

.

A

1

.

A

2

.

A

3)=

6

125

（Ⅰ）該生至少有一門課程取得優秀成績的概率為P=1-P(

.

A

1

.

A

2

.

A

3)=1-

6

125

=

119

125

P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))=

1

5

(1-p)(1-q)=

6

125

及P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=

4

5

pq=

24

125

得p=

2

5

，q=

3

5

．
（Ⅱ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

6

125

，
P(ξ=1)=

4

5

×

3

5

×

2

5

+

1

5

×

2

5

×

2

5

+

1

5

×

3

5

×

3

5

=

37

125

，P(ξ=2)=

4

5

×

2

5

×

2

5

+

4

5

×

3

5

×

3

5

+

1

5

×

2

5

×

3

5

=

58

125

，
P（ξ=3）=1-

6

125

-

37

125

-

58

125

=

24

125

．

ξ	0	1	2	3
pi	6 125	37 125	58 125	24 125

∴E(ξ)=0×

6

125

+1×

37

125

+2×

58

125

+3×

24

125

=

9

5

．
∴該生取得優秀成績的課程門數的期望為

9

5

．

點評：本題考查離散隨機變量的概率分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時要認真審題，注意排列組合知識和概率知識的靈活運用．