Question

(本小題滿分14分)橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e=，過點C(－1，0)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且C分有向線段的比為2.
(1)用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積;
(2)當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.

Answer 1

（1）S_△OAB= (k≠0).；（2）x²+3y²=5.                    

解：(1)設橢圓E的方程為=1(a＞b＞0)，由e=.
∴a²=3b²，故橢圓方程x²+3y²=3b².                                  2分
設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，由于點C(－1，0)分有向線段的比為2，

①②

∴，即

由消去y整理并化簡，得(3k²+1)x²+6k²x+3k²－3b²=0.    4分
由直線l與橢圓E相交于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)?兩點，?

③ ④ ⑤

∴

而S_△OAB=|y₁－y₂|=|－2y₂－y₂|
=|y₂|=|k(x₂+1)|= |k||x₂+1|.              ⑥
由①④得:x₂+1=－，代入⑥得：
S_△OAB= (k≠0).                       8分
(2)因S_△OAB==≤=，
當且僅當k=±，S_△OAB取得最大值.
此時x₁+x₂=－1，又∵=－1，
∴x₁=1，x₂=－2.
將x₁，x₂及k²=代入⑤得3b²=5.
∴橢圓方程x²+3y²=5.                                                                                      14分