Question

已知函數f（x）=lnx+2f′（1）x+m（m∈R），f（x）的導數為f′（x），且f（x）的圖象過點（1，-2）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=f(x)+

a

x

+2x，若g（x）在[1，e]的最小值是2，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令x=1，再利用f（x）的圖象過點（1，-2），代入，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）求導數，確定導數的零點，再分類討論，利用g（x）在[1，e]的最小值是2，即可求實數a的值．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=

1

x

+2f′（1）
∴f′（1）=1+2f′（1）
∴f′（1）=-1
∴f（x）=lnx-2x+m
∵f（x）的圖象過點（1，-2）
∴-2=ln1-2+m
∴m=0
∴f（x）=lnx-2x；
（2）g(x)=f(x)+

a

x

+2x=lnx+

a

x

(x＞0)
∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

=0，∴x=a
①當a≤1時，函數g（x）在[1，e]上為增函數
∴g_min（x）=g（1）=a=2，與a≤1矛盾，故舍去；
②當1＜a＜e時，函數g（x）在（1，a）上有g′（x）＜0，函數單調遞減，在（a，e）上有g′（x）＞0，函數單調遞增
∴g_min（x）=g（a）=lna+1=2，∴a=0這與1＜a＜e矛盾，故舍去；
③當a≥e時，g（x）在[1，e]上為減函數，
∴gmin(x)=g(e)=1+

a

e

=2，
∴a=e
綜上所述，a=e．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．