Question

四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示．
（1）在四凌錐中，E為線段PD的中點，求證：PB∥平面AEC；
（2）在四凌錐中，F為線段PA上的點，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時，PA⊥平面DBF？并求此時幾何體F-BDC的體積．

Answer 1

分析：（1）根據題中的三視圖作出四棱錐P-ABCD的直觀圖，設AC、BD交點為O，連結OE，利用三角形中位線定理證出OE∥PB，再由線面平行判定定理，即可，證出PB∥平面AEC；
（2）過O作OF⊥PA于F，根據題中數據在Rt△POA中算出PF=

1

2

，AF=

3

2

，從而得出λ=

PF

FA

=

1

3

．由線面垂直判定定理，證出PA⊥平面BFD．作FH∥PO交AO于H，可得FH⊥平面BCD，由λ=

1

3

算出FH的長，利用錐體的體積公式加以計算，即可得出此時幾何體F-BDC的體積．

解答：解：（1）根據題中的三視圖，作出四棱錐P-ABCD的直觀圖，如圖所示．
連結AC、BD，設AC、BD交點為O，連結OE
∵OE是△PBD的中位線，∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；
（2）過O作OF⊥PA于F，
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2
∴PF=

PO2

PA

=

1

2

，AF=

3

2

，λ=

PF

FA

=

1

3

∵PA⊥BD，BD∩FO=O，∴PA⊥平面BFD．
當

PF

FA

=

1

3

時，在△PAO中作FH∥PO，交AO于H，則FH⊥平面BCD，
∵FH∥PO，得FH=

3

4

PO=

3

4

，
∴三棱錐F-BDC的體積V=

1

3

S△BCD•FH=

1

3

×

3

×

3

4

=

3

4

．

點評：本題給出幾何體的三視圖，求證幾何體中線面平行并求錐體的體積．著重考查了線面平行判定定理、線面垂直的判定與性質和錐體體積求法等知識，屬于中檔題．