Question

（2006•咸安區模擬）函數f（x）是定義域為R的偶函數，且對任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x）成立．當x∈[0，1]時，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，求f（x）的表達式；
（2）若f（x）的最大值為

1

2

，解關于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由f（x+2）=f（x）可得2是f（x）周期，當x∈[2k-1，2k]時，x-2k∈[-1，0），代入可得f（x）=log_a[2+（x-2k）]；當x∈[2k，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[0，1]，代入可得f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
（2）f（x）的最大值為

1

2

，求出a=4，再求x∈[-1，1時的解集，利用周期為2，可得不等式的解集．．

解答：解：（1）當x∈[-1，0）時，f（x）=f（-x）=log_a[2-（-x）]=log_a（2+x）．
當x∈[2k-1，2k）（k∈Z）時，x-2k∈[-1，0），f（x）=f（x-2k）=log_a[2+（x-2k）]．
當x∈[2k，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[0，1]，f（x）=f（x-2k）=log_a[2-（x-2k）]．
故當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，f（x）的表達式為f(x)=

loga[2+(x-2k)]，x∈[2k-1，2k) loga[2-(x-2k)]，x∈[2k，2k+1]

（2）∵f（x）是以2為周期的周期函數，且為偶函數，∴f（x）的最大值就是當x∈[0，1]時，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（2-x）在[0，1]上是減函數，∴[f(x)]max=f(0)=loga2=

1

2

，∴a=4．
當x∈[-1，1]時，由f(x)＞

1

4

得

-1≤x＜0 log4(2+x)＞ 1 4

或

0≤x≤1 log4(2-x)＞ 1 4

得

2

-2＜x＜2-

2

．
∵f（x）是以2為周期的周期函數，
∴f(x)＞

1

4

的解集為{x|2k+

2

-2＜x＜2k+2-

2

，k∈Z}．

點評：本題主要考查周期函數，解題的關鍵是正確利用周期，及已知定義域上的解析式，屬于中檔題．