Question

如圖：設一正方形ABCD邊長為2分米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一個正方形和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，使A、B、C、D四點重合，記為A點．恰好能做成一個正四棱錐（粘貼損耗不計），圖中AH⊥PQ，O為正四棱錐底面中心．
（Ⅰ）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積V；
（Ⅱ）設等腰三角形APQ的底角為x，試把正四棱錐的側面積S表示為x的函數，并求S的范圍．

Answer 1

分析：（I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，由此先計算出此正四棱錐的棱長，再利用正棱錐的性質計算其體積即可；
（II）先利用等腰三角形APQ的底角為x的特點，將側棱長和底邊長分別表示為x的函數，再利用棱錐的體積計算公式將棱錐體積表示為關于x的函數，最后可利用均值定理求函數的值域

解答：解：（I）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形ABCD中，三角形APQ為等邊三角形，設邊長為a，
∵正方形ABCD邊長為2分米，∴AH=

3

2

a=

AC-a

2

=

2 2 -a

2

，解得a=

2 2

1+ 3

=

6

-

2

∴正四棱錐的棱長a=

6

-

2

∴PO=

2

2

a，AO=

AP2-PO2

=

2

2

a，
∴V=

1

3

×a²×AO=

2

6

a³=

2

6

×（

6

-

2

）³=4

3

-

20

3

（II）∵AH=

1

2

PQ×tanx=

AC-PQ

2

=

2 2 -PQ

2

=

2

-

1

2

PQ
∴PQ=

2 2

1+tanx

，AH=

2 tanx

1+tanx

∴S=4×

1

2

×PQ×AH
=2×PQ×AH
=2×

2 2

1+tanx

×

2 tanx

1+tanx

=

8tanx

(1+tanx) 2

   x∈[

π

4

，

π

2

）
∵S=

8tanx

(1+tanx) 2

=

8tanx

1+tan2x+2tanx

=

8

1 tanx +tanx+2

≤

8

2+2

=2   （當且僅當tanx=1即x=

π

4

時取等號）
而tanx＞0，故s＞0
∵S等于2時三角形APQ是等腰直角三角形，頂角PAQ等于90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構不成棱錐，∴S的范圍為（0，2）．

點評：本題主要考查了正四棱錐的幾何性質，正四棱錐中的棱長、高、體積的計算，建立函數模型并求其最值的方法，有一定的難度