Question

【題目】在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形.

（1）若，證明：直線平面；

（2）設、分別是線段、的中點，在線段上是否存在一點，使直線平面？請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，是線段的中點，證明見解析.

【解析】

（1）證明出平面，可得出，再結合，然后利用直線與平面垂直的判定定理可證明出直線平面；

（2）取線段的中點，連接、、、，設為、的交點，可知為的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用直線與平面平行的判定定理證明出平面，由此可得出當點為線段的中點時，平面.

（1）因為四邊形和都是矩形，所以，.

因為、為平面內兩條相交直線，所以平面.

因為直線平面，所以.

又由已知，，、為平面內兩條相交直線，

所以平面；

（2）取線段的中點，連接、、、，設為、的交點.

由已知，為的中點.

連接、，則、分別為、的中位線.

所以，，因此.

連接，從而四邊形為平行四邊形，則.

因為直線平面，平面，

所以直線平面.

即線段上存在一點（線段的中點），使直線平面.