Question

【題目】已知曲線C上任一點P到點F（1,0）的距離比它到直線的距離少1．

（1）求曲線C的方程；

（2）過點作兩條傾斜角互補的直線與曲線C分別交于點A、B，試問：直線AB的斜率是否為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線AB的斜率為定值-1，理由詳見解析。

【解析】

試題分析：

（1）本問考查求軌跡方程問題，根據題中條件，曲線C上的點P到定點F（1，0）的距離比它到定直線l:x=-2的距離少1，那么可以將問題轉化為曲線C上的點到定點F（1,0）的距離與到定直線x=-1的距離相等，這樣由拋物線定義可知，曲線C為拋物線，以F為焦點，以直線l為準線，所以p=2，拋物線方程為，于是得到曲線C的方程y2=4x；

（2）由直線傾斜角互補可知，兩直線QA，QB的斜率互為相反數，那么將QA，QB的斜率可以用坐標表示出來，設A（x1,y1）,B（x2,y2），于是， 即，由于A,B兩點在拋物線上滿足，，所以，則。所以整理得出：， 則 ，所以直線AB的斜率為定值-1。第（2）問考查直線與圓錐曲線的位置關系，要求學生能夠將幾何問題坐標化，考查學生的轉化能力。

試題解析：（1）因為P到點F（1,0）的距離比它到直線的距離少1

所以P到點F（1,0）的距離與它到直線的距離相等

所以由拋物線定義可知點P的軌跡是以F為焦點、以直線為準線的拋物線

所以P=2，

所以曲線C的方程為

（2）直線AB的斜率為定值-1，理由如下：

設則

因為直線AQ，BQ傾斜角互補

所以 即

所以

所以