Question

（本小題滿分14分）在數列中，是數列前項和，，當

 （I）求證：數列是等差數列；

 （II）設求數列的前項和；

（III）是否存在自然數，使得對任意自然數，都有成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）（III）存在，的最大值為，理由見解析

【解析】

試題分析：（I）由已知得，當時，，

所以，又因為，

所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.                                  ……4分

（II ）由（I）知，，

所以.                                                                

所以，                            ……6分

所以

.            ……8分

（III）令，顯然在上是增函數，

所以當時，取得最小值，

依題意可知，要使得對任意，都有，

只要，即，所以，

因為所以的最大值為.                                                   ……14分

考點：本小題主要考查等差數列的證明，裂項法求和、數列與不等式的綜合應用問題，考查學生綜合分析問題、解決問題的能力和邏輯思維能力和運算求解能力.

點評：解決此類問題要抓住一個中心——函數，兩個密切聯系：一是數列和函數之間的密切聯系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，利用它們之間的對應關系進行靈活處理.