Question

已知函數f(x)=

x

x+2

，x∈[3，6]．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調性，并利用單調性的定義證明；  
（Ⅱ）求f（x）在[3，6]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）任取3≤x₁＜x₂≤6，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，
我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）可知函數的單調性，將區間端點的值代入即可求出最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）區間[3，6]上單調遞增．…（2分）
任取x₁，x₂∈[3，6]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

2(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

…（5分）
∵3≤x₁＜x₂≤6∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴由單調性的定義知，函數f（x）區間[3，6]上單調遞增．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）區間[3，6]上單調遞增，
∴[f（x）]_min=f（3），[f（x）]_max=f（6）∵f(3)=

3

3+2

=

3

5

，f(6)=

6

6+2

=

3

4

∴[f(x)]min=

3

5

，[f(x)]max=

3

4

．…（12分）

點評：本題主要考查函數單調性的判斷與證明，以及應用單調性求函數的最值，同時還考查了學生的變形，轉化能力，屬中檔題．