Question

設等比數列{a_n}的各項均為正數,公比為q,前n項和為S_n.若對?n∈N^*,有S_2n<3S_n,則q的取值范圍是(　　)

A．(0,1]

B．(0,2)

C．[1,2)

D．(0,)

Answer 1

A

若q=1,則S_2n=2na₁<3na₁=3S_n,所以q=1符合要求;當q≠1時,<,若q>1,則可得q²ⁿ-3qⁿ+2<0,即(qⁿ-1)(qⁿ-2)<0,即1<qⁿ<2,而q>1不可能對任意n值都有qⁿ<2,所以q>1不符合要求;當0<q<1時,可得(qⁿ-1)(qⁿ-2)>0,即qⁿ<1,由于0<q<1,所以對任意n值都有qⁿ<1,所以q<1符合要求.綜合可得q的取值范圍是(0,1].