Question

已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）若F點是棱PC上一點，且，，求的值.

Answer 1

（1），（2）

試題分析：法一：空間向量法。（1）以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系。根據已知條件得點的坐標，再得向量的坐標。用向量數量積公式求向量所成角的余弦值，但應注意空間兩異面直線所成的角為銳角或直角，所以兩異面和所成角的余弦值為向量所成角的余弦值的絕對值。（2）根據題意設，根據，可得的值，根據比例關系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根據異面直線所成角的定義可過點作//交于，則（或其補角）就是異面直線與所成的角. 因為//且//,則四邊形為平行四邊形，則，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，過作，為垂足。易得證平面，可得，從而易得證//，可得，即可求的值。
試題解析：解法一：
（1）如圖所示，以點為原點建立空間直角坐標系，

則故

故異面直線與所成角的余弦值為.
（2）設

在平面內過點作，為垂足，則
，∴
解法二：
（1）在平面內，過點作//交于，連結，則（或其補角）就是異面直線與所成的角.

在中，
由余弦定理得，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
（2）在平面內，過作，為垂足，連結，又因為

∴平面， ∴
由平面平面，∴平面 ∴//
由得，∴
，∴.