Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD－中，M為AB的中點，E為的中點，（說明：原圖沒有線段BC₁，EO，AC₁，請你自己在使用時將圖修改一下）

   （Ⅰ）求證：ME⊥BC₁

   （Ⅱ）求點M到平面DB₁C的距離；

   （Ⅲ）求二面角M－B₁C－D的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）連接，依題意可得E為的中點，連接，設交于點O，

又∵M為AB的中點，∴∥.  

在正方形BCC₁B₁中，⊥B₁C

∴⊥B₁C.

（Ⅱ）∵⊥B₁C  BC₁⊥DC  ∴ BC₁⊥面DB₁C，又∵∥，

⊥面DB₁C ，  ∴為所求距離.

又正方體的棱長為2，∴，.

因此，點M到平面DB₁C的距離為 。

（也可由體積相等，求得距離為）

（Ⅲ）連接EO，MO，則EO∥DC，而BC₁⊥DC，∴EO⊥B₁C，

由（Ⅱ）知ME⊥面DB₁C，

∴EO為MO在平面DB₁C內的射影，

由三垂線定理知MO⊥B₁C，

所以∠MOE為二面角M- B₁C-D的平面角.

在Rt△MEO中，EO=DC=1，ME=，

∴.

所以，二面角M- B₁C-D的大小為.