Question

已知函數有兩個極值點．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若存在實數a，使函數f（x）在區間[b，b+2]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，由題意知，導數等于0有兩個正根，分a＜0和a＞0兩種情況討論．
（Ⅱ）由題意知，?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0對x∈[b，b+2]恒成立，即 a＞-+=-+4 恒成立，由恒成立，故x≠，由b＞0，根據不在區間[b，b+2]內，求出實數b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ），由題意：a≠0，又
①當a＜0時，，f'（x）=0兩根異號，不合題意；
②當a＞0時，可知△=16-4a＞0，即0＜a＜4，
此時由f′（x）=0得，，，（4分）
由下表

故當0＜a＜4時，函數f（x）的兩個極值點．（6分）
（Ⅱ）結合（Ⅰ）可得“?a∈（0，4），使ax²-4x+1≥0對x∈[b，b+2]恒成立”，
即 a＞-+=-+4 恒成立，由[b，b+2]?（0，+∞）得b＞0，
又恒成立，
∴，，或，從而．（13分）
點評：本題考查函數在某點存在極值的條件，利用導數判斷函數的單調性的方法，以及函數的恒成立問題．