Question

【題目】已知點是橢圓E： (a>b>0)上一點，離心率為.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設不過原點O的直線l與該橢圓E交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）(0，)．

【解析】試題分析：（1）根據離心率得a,b,c三者關系，再代入點可得a2＝4，b2＝3.（2）因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，可得 ，再直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)，聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入關系式得，根據點到直線距離公式得高，根據弦長公式得底邊邊長，結合三角形面積公式得關于m函數關系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范圍

試題解析：解：(1)由題意知，＝，

所以＝，a2＝b2.

又＋＝1，解得a2＝4，b2＝3.

因此橢圓E的方程為

(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，

故可設直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)，

P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得，

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.

由題意知Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－3)

＝16(12k2－3m2＋9)>0，

即4k2－m2＋3>0.

又x1＋x2＝－，x1x2＝

所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)

＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.

因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，

所以·＝＝k2，

即(4k2－3)m2＝0，

∵m≠0，∴k2＝.

由于直線OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，

得0<m2<6，且m2≠3.

設d為點O到直線l的距離，

則S△OPQ＝d|PQ|

＝× |x1－x2|

＝|m|

又因為m2≠3，

所以S△OPQ＝<×＝.

所以△OPQ面積的取值范圍為(0，)．