Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足 ，且a1=3． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）數列{an}的前n項和為Sn ， 且 ， ∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1+1，（n≥2，n∈N*），
即an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），
∴an+1=2（an﹣1+1），
∴數列{an+1}是等比數列；
又a1+1=3+1=4，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴{ }是首項為 ，公比為 的等比數列，
因此
=
．
【解析】（Ⅰ）由數列{an}的前n項和與通項公式的定義，得出an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），從而得出數列{an+1}是等比數列，由此求出{an}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）寫出數列{an+1}的通項公式，從而得出{ }是等比數列，求出其前n項和，即可證明不等式成立．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．