Question

如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點，為棱上的一點，且//平面.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）二面角的余弦值為.

試題分析：（1）求的值，關鍵是找在的位置，注意到平面，有線面平行的性質，可得，由已知為中點，由平面幾何知識可得為中點，從而可得的值；（2）求證：，有圖觀察，用傳統方法比較麻煩，而本題由于底面，所以，，又，這樣建立空間坐標比較簡單，故以為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，取，可寫出個點坐標，從而得向量的坐標，證即可；（3）求二面角的余弦值，由題意可得向量是平面的一個法向量，只需求出平面的一個法向量，可設平面的法向量，利用，即可求出平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值．
（1）因為平面
又平面，平面平面，
所以.                          3分
因為為中點，且側面為平行四邊形
所以為中點，所以.                4分
（2）因為底面，
所以，，                                      5分
又，
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則由可得                  6分
因為分別是的中點，
所以.                                      7分
.                    8分
所以，
所以.                                         9分

（3）設平面的法向量，則
即                10分
令，則，所以.                11分
由已知可得平面的法向量                    11分
所以                    13分
由題意知二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.                    14分