Question

【題目】如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖，在直觀圖中， 是的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示.

(1)求出該幾何體的體積；

(2)若是的中點，求證： 平面；

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）先由面面垂直的性質定理證明 ，再由面面垂直的判定定理證明 證明平面，從而由棱錐的體積公式可得結果；（2）連接 ，由中位線定理得 ，由平行四邊形可得 ，進而可得結果.

試題解析：(1)由題意可知：四棱錐中，

平面平面，

平面平面

所以， 平面

又， ，

則四棱錐的體積為：

(2)連接,則，

又,所以四邊形為平心四邊形，

平面， 平面,

所以， 平面

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.