Question

中心在原點O，焦點F₁、F₂在x軸上的橢圓E經過C（2，2），且．
（1）求橢圓E的方程．
（2）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），則，由，知4-c²+4=2，即c²=6．由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，由，得3x²-4mx+2m²-12=0，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，圓P的圓心為（），半徑r==，當圓P與y軸相切時，r=||，由此能求出直線l的方程和圓P的方程．
解答：解：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），則，
∵，∴4-c²+4=2，
∴c²=6．
設橢圓E的方程為，
把C（2，2）代入，得，
整理，得a⁴-14a²+24=0，
解得a²=12，或a²=2（舍）
∴橢圓E的方程為．
（2）依題意，直線OC斜率為1，由此設直線l的方程為y=-x+m，
由，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²）＞0，
得m²＜18．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，
圓P的圓心為（），
半徑r==，
當圓P與y軸相切時，r=||，
則，
即，解得m²=9＜18，
當m=3時，直線l方程為y=-x+3，
此時，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4，
同理，當m=-3時，直線l方程為y=-x-3，
圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4．
點評：本題考查直線方程、圓的方程和橢圓方程的求法，具體涉及到直線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓和圓的簡單性質等基本知識．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．