Question

(本小題滿分16分)

已知拋物線的準線為,焦點為.⊙M的圓心在軸的正半軸上,且與軸相切．

過原點作傾斜角為的直線,交于點, 交⊙M于另一點,且.

（Ⅰ）求⊙M和拋物線的方程；

（Ⅱ）若為拋物線上的動點,求的最小值；

（Ⅲ）過上的動點向⊙M作切線,切點為,

求證：直線恒過一個定點,并求該定點的坐標.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為,即,所以拋物線C的方程為……… 2分

設⊙M的半徑為,則,所以的方程為……………… 5分

   （Ⅱ）設,則

=……8分

所以當時, 有最小值為2 ……………………………………………………………10分

   （Ⅲ）以點Q這圓心,QS為半徑作⊙Q,則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦…………………1分

設點,則,所以⊙Q的方程為…13分

從而直線QS的方程為(*)………………………………………………………………14分

   因為一定是方程(*)的解,所以直線QS恒過一個定點,且該定點坐標為 ……………16分