Question

已知數列a，b，c是各項均為正數的等差數列，公差為d（d＞0）．在a，b之間和b，c之間共插入n個實數，使得這n+3個數構成等比數列，其公比為q．
（1）求證：|q|＞1；
（2）若a=1，n=1，求d的值；
（3）若插入的n個數中，有s個位于a，b之間，t個位于b，c之間，且s，t都為奇數，試比較s與t的大小，并求插入的n個數的乘積（用a，c，n表示）．

Answer 1

分析：（1）先由條件求出知qn+2=

c

a

，又有c=a+2d代入即可得|qⁿ⁺²|＞1，就可證明結論；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后對插入的數分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可；
（3）先由條件求得|q|^s+1＞|q|^t+1?s＞t．然后再對q所存在的可為正數，也可為負數兩種情況分別求出插入的n個數的乘積即可．

解答：解：（1）由題意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1，（2分）
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正數，故|q|＞1．（4分）
（2）由a，b，c是首項為1、公差為d的等差數列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的這一個數位于a，b之間，則1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根為d=

1+ 5

2

．（7分）
若插入的這一個數位于b，c之間，則1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程無正根．
故所求公差d=

1+ 5

2

．　　　　　　　　　（9分）
（3）由題意得qs+1=

b

a

=

a+d

a

，qt+1=

c

b

=

a+2d

a+d

，又a＞0，d＞0，
故

a+d

a

-

a+2d

a+d

=

d2

a(a+d)

＞0，可得

a+d

a

＞

a+2d

a+d

，又

a+2d

a+d

＞0，
故q^s+1＞q^t+1＞0，即|q|^s+1＞|q|^t+1．
又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．　　（12分）
設n+3個數所構成的等比數列為a_n，則a1=a，as+2=b=

a+c

2

，an+3=c，
由a_ka_n+4-k=a₁a_n+3=ac（k=2，3，4，n+2），
可得（a₂a₃a_n+2）²=（a₂a_n+2）（a₃a_n+1）（a_n+1a₃）（a_n+2a₂）=（ac）ⁿ⁺¹，（14分）
又qs+1=

b

a

＞0，qt+1=

c

b

＞0，
由s，t都為奇數，則q既可為正數，也可為負數，
①若q為正數，則a₂a₃a_n+2=(ac)

n+1

2

，插入n個數的乘積為

2

a+c

(ac)

n+1

2

；
②若q為負數，a₂，a₃，a_n+2中共有

n

2

+1個負數，
故a₂a₃an+2=(-1)(

n

2

+1)(ac)

n+1

2

，所插入的數的乘積為

2

a+c

(-1)(

n

2

+1)(ac)

n+1

2

．
所以當n=4k-2（k∈N^*）時，所插入n個數的積為

2

a+c

(ac)

n+1

2

；
當n=4k（k∈N^*）時，所插入n個數的積為±

2

a+c

(ac)

n+1

2

．（18分）

點評：本題綜合考查等差數列與等比數列的基礎知識以及分類討論思想在解題中的應用．本題的前二問比較基礎，第三問比較麻煩，適合程度較高的學生解答．