Question

如圖，已知邊長都為1正方形ABCD與正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分別是對角線AC和BF上的點，且AM=FN=a(0＜a＜

2

)．
（1）求證：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．

Answer 1

（1）證明：過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵

AM

MC

=

AP

PB

，又

AM

MC

=

FN

NB

∴

AP

PB

=

FN

NB

[（2分）]
∴PN∥AF
∴平面MPN∥平面CBE[（4分）]
從而MN∥平面BCE[（6分）]
（2）∠MPN=90°MP=

2

2

a，PN=1-

2

2

a[（8分）]
由勾股定理知：MN2=MP2+PN2=a2-

2

a+1=(a-

2

2

)2+

1

2

[（10分）]
當(dāng)a=

2

2

a時，MN的最小值為

2

2

．[（12分）]