Question

對5副不同的手套進行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．
（Ⅰ）求下列事件的概率：
A：甲正好取得兩只配對手套；
B：乙正好取得兩只配對手套；
（Ⅱ）A與B是否獨立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，甲先任取一只要從5對中取一對且一對中又有兩種不同的取法，余下的乙從8只手套中取兩只，有C₈²中取法，根據古典概型公式得到結果．乙正好取得兩只配對手套做法同乙完全相同．
（2）要驗證兩個時間是否獨立，只要驗證兩個概率的乘積是否等于兩個事件同時發生的概率，代入第一問解出的結果進行驗證．

解答：解：（Ⅰ）設“甲正好取得兩只配對手套”為事件A
∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲先任取一只要從5對中取一對且一對中又有兩種不同的取法，
余下的乙從8只手套中取兩只，有C₈²中取法，
根據古典概型公式得到
P(A)=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
P(B)=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
（Ⅱ）∵從10只手套中任取4只有C₁₀⁴種不同的取法，
甲乙兩個人都取得成對的手套有C₅²×2×C₂¹×2種不同取法，
∴P(AB)=

C 2 5 ×2× C 1 2 ×2

A 4 10

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P(A)P(B)=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A與B是不獨立的．

點評：手套或鞋子成對問題是概率題目中較困難的問題，可拿一個典型題目認真分析，看清題目解答過程，使得以后遇到知道怎么考慮．本題還考查相互獨立事件，一般地，如果事件 相互獨立，那么事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積．