Question

20.設函數f（x）=－ax，其中a>0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）證明：當a ≥1時，函數f（x）在區間［0，+∞）上是單調函數.

Answer 1

20.本小題主要考查不等式的解法、函數的單調性等基本知識，分類討論的數學思想方法和運算、推理能力.

（Ⅰ）解：不等式f（x）≤1，即≤1+ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0.

其中常數a>0，

所以，原不等式等價于

即　　　　　　　  　　　　　　

所以，當0＜a<1時，所給不等式的解集為｛x|0≤x≤｝；

當a≥1時，所給不等式的解集為｛x|x≥0｝.　　　　

 

（Ⅱ）證明：在區間[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁<x₂.

f（x₁）－f（x₂）=

              　=

                =.　 　

∵<1，且a≥1，

∴<0，

又x₁－x₂<0，

∴f（x₁）－f（x₂）>0，

即f（x₁）>f（x₂）.

所以，當a≥1時，函數f（x）在區間[0，+ ∞）上是單調遞減函數.