Question

(本題滿分16分)

已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).

(1)若，求證：函數(shù)在(1，+．∞)上是增函數(shù)；

(2)求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的值；

(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，

故函數(shù)在上是增函數(shù)．…………………………………………………4分

（2），當(dāng)，．

若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)．　………………………………………………6分

若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)．故

．

若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)．……………………………………8分

綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)時(shí)，

的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為，

相應(yīng)的x值為．……………………………………………………………………10分

（3）不等式，   可化為．

∵, ∴且等號(hào)不能同時(shí)取，所以，即，

因而（）………………………………………………12分

令（），又，…………………14分

當(dāng)時(shí)，，，

從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，

故的最小值為，所以a的取值范圍是． ………………………16分