Question

已知一個數列{a_n}的各項是1或2．首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間有f（k）個2，記數列的前n項的和為S_n．
（1）若f（k）=2^k-1，求S₁₀₀；
（2）若f（k）=2k-1，求S₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）由f（k）=2^k-1，可確定數列為1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…，分組：第k個1與其后面的k個2組成第k組，其組內元素個數記為b_k，則bk=2k-1+1，并確定所加的項的規律，結合數列的求和公式可求和，
（2）由f（k）=2k-1，可確定數列為1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，分組：第k個1與其后面的k個2組成第k組，其組內元素個數記為b_k，則b_k=2k，同理可求

解答：解：（1）若f（k）=2^k-1，則數列為1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…
記第k個1與其后面的k個2組成第k組，其組內元素個數記為b_k，則bk=2k-1+1…（2分）
又當k=6時，b₁+b₂+…+b₆=2+3+5+9+17+33=69＜100
但當k=6時，b₁+b₂+…+b₇=2+3+5+9+17+33+65=134＞100…（5分）
所以前100項中由前6組以及第7組的部分元素構成，故有7個1和93個2，
從而S₁₀₀=7+93×2=193…（7分）
（2）若f（k）=2k-1，則數列為1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…
記第k個1與其后面的k個2組成第k組，其組內元素個數記為b_k，則b_k=2k…（11分）
令b₁+b₂+…+b_n=2+4+…+2n=n（n+1）＜2011，
而44×45=1980＜2011，45×46=2070＞2011
故n=44，即前2011項中有45個以及1966個2，所以S₂₀₁₁=45+1966×2=3977…（14分）

點評：本題主要考查了數列的求和公式的應用，解題的關鍵是結合已知確定數列的項的特點．