Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓的上、下焦點，其中F₁也是拋物線的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，（λ≠0且λ≠±1），
求證：點Q總在某條定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標，再利用橢圓的定義即可求出；
解法二：同解法一求出點M的坐標，再利用橢圓的標準方程及參數a，b，c的關系即可求出．
（2）方法一：利用已知向量相等及點A，B在圓上滿足圓的方程即可證明；
方法二：利用向量相等、直線與圓相交問題得到根與系數的關系即可證明．
解答：解：（1）解法一：令M為（x，y），因為M在拋物線C₂上，故，①
又，則②
由①②解得，
橢圓C₁的兩個焦點為F₁（0，1），F₂（0，-1），點M在橢圓上，由橢圓定義，得2a=|MF₁|+|MF₂|=
∴a=2，又c=1，∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C₁的方程為．
解法二：同上求得M，而點M在橢圓上，故有，即，
又c=1，即b²=a²-1，解得a²=4，b²=3∴橢圓C₁的方程為．
（2）證明：方法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y）
由，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），
即
由，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），

⑤×⑦得，⑥×⑧得
兩式相加，得
又點A，B在圓x²+y²=3上，∴，且λ≠±1
即x+3y=3，故點Q總在直線x+3y=3上
方法二：
由，可得（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），∴，
由，可得（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），∴，
∴，∴（*）
當斜率不存在時，由特殊情況得到，
當斜率存在時，設直線為y=k（x-1）+3，
∴，
代入（*）得，而y=k（x-1）+3，消去k，得x+3y=3
而滿足方程，∴Q在直線x+3y=3上．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質、向量相等、直線與圓錐曲線的相交問題及根與系數的關系是解題的關鍵．本題需要較強的計算能力，注意分類討論的思想方法應用．