Question

已知雙曲線C：的離心率為，左頂點為（-1，0）。

（1）求雙曲線方程；

（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓上，求m的值和線段AB的長。

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）因為雙曲線的離心率為，所以，又左頂點為，所以，因此可解得， ，從而求得雙曲線的標準方程：

（2）設，中點的坐標為，則

聯立方程組：消去得關于的一元二次方程，在判別式大于零的條件下，由韋達定理可用含參數的表達式表示和，進而表示和，由于點到原點的距離為，可據此列方程解得的值；最后根據弦長公式求弦的長.

試題解析：

（1）依題意所以 ..2分

所以雙曲線方程為 ..4分

（2）由得， .6分

∴，

又∵中點在直線上，所以可得中點坐標為（m,2m）,

代入得 .8分

|AB|=。 12分

考點：1、雙曲線的標準方程；2、直線與雙曲線的位置關系；2、弦長公式.