Question

（2013•汕頭一模）在三棱錐P-ABC中．側梭長均為4．底邊AC=4．AB=2，BC=2

3

，D．E分別為PC．BC的中點．
〔I）求證：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用等腰三角形的性質即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=2

3

，直角三角形ABC的面積S=

1

2

AB×BC，再利用VP-ABC=

1

3

S△ABC×OP即可得出．
（III）方法一：過點E 作EH⊥AC于H，過點H作HM⊥AD于M，連接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH?平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂線定理），可得∠EMH即為所求的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關系求出即可．
方法二：以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量即可得到二面角．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，
取AC的中點O，連接OP，OB，可得：OP⊥AC，
OP=

PC2-OC2

=

42-22

=2

3

，
∵AC=4，AB=2，BC=2

3

，∴AC²=AB²+BC²，∴△ABC為Rt△．
∴OB=OC=2，PB²=OB²+OP²，∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=2

3

．
直角三角形ABC的面積S=

1

2

AB×BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴V_P-ABC=

1

3

S△ABC×OP=

1

3

×2

3

×2

3

=4．
（Ⅲ）方法一：過點E 作EH⊥AC于H，過點H作HM⊥AD于M，
連接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH?平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂線定理），
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角．
∵E，D分別為中點，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中：HC=ECcos300=

3

2

，EH=ECsin300=

3

2

，
∴AH=4-HC=

5

2

在RT△HMA中，MH=AHsin300=

5

4

．
在RT△HME中，ME=

HE2+HM2

=

3 4 + 25 16

=

37

4

．
所以cos∠EMH=

MH

ME

=

5 4

37 4

=

5 37

37

．
方法二：以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
O（0，0，0），A（0，-2，0），B(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D(0，1，

3

)，E(

3

2

，

1

2

，0)，P(0，0，2

3

)，
∴

AE

=(

3

2

，

5

2

，0)，

AD

=(0，3，

3

)，
設平面AED的一個法向量為

n

1=(x，y，z)，
平面ACD的一個法向量為

n

2=(1，0，0)，
則

n1 • AE =0 n1 • AD =0

，得

3 2 x+ 5 2 y=0 3y+ 3 z=0

，令x=1，則y=-

3

5

，z=

3

5

．
∴

n1

=(1，-

3

5

，

3

5

)，
設所求的二面角為θ，顯然θ為銳角，
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 | | n2 |

=

1

1+ 3 25 + 9 25

=

5 37

37

．

點評：熟練掌握等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質定理、三棱錐的體積計算公式、利用三垂線定理和二面角的定義求得二面角的平面角、通過空間直角坐標系利用兩個平面的法向量得到二面角等是解題的關鍵．