Question

把公差為2的等差數{a_n}的各項依次插入等比數{b_n}中，{b_n}按原順序分成1項，2項，4項，…2^n-1項的各組，得到數列{c_n}：b₁，a₁，b₂，b₃，a₂，b₄，b₅，b₆，b₇，a₃，…，數列{c_n}的前n項的和s_n．若c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

．則數{c_n}的前100項之和S₁₀₀=

1

3

[130-(

1

2

)186]

．

Answer 1

分析：先由c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，S₃=1+2+b₂=

13

4

，求出等差數列的首項及公差，等比數列的首項及公比，從而可求a_n，b_n然后根據數列C_n的組成特點，判斷前100項中，a_n，b_n中的項分別有多少項，再代入等差及等比數列的求和公式可求

解答：解：由題意可得c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，S₃=1+2+b₂=

13

4

∴b2=

1

4

，公比q=

1

4

∴a_n=2+2（n-1）=2n，bn=

1

4n-1

∴S₁₀₀=b₁+a₁+b₂+b₃+a₂+…+a₆+b₆₄+…+b₉₄
=（a₁+…+a₆）+（b₁+b₂+…+b₉₄）
=42+

1-  1 494

1- 1 4

=

1

3

[130-(

1

2

)186]
故答案為：

1

3

[130-(

1

2

)186 ]

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的通項公式及求和公式的應用，解題的關鍵是根據數列的特點，準確判斷所求數列中的項分別有多少等差數列和等比數列的項．