Question

如果f（x₀）是函數f（x）的一個極值，稱點（x₀，f（x₀））是函數f（x）的一個極值點．已知函數f（x）=（ax-b）e

a

x

（x≠0且a≠0）
（1）若函數f（x）總存在有兩個極值點A，B，求a，b所滿足的關系；
（2）若函數f（x）有兩個極值點A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的區域內時實數b的范圍．
（3）若函數f（x）恰有一個駐點A，且存在a∈R，使A在不等式

|x|＜1 |y|＜e2

表示的區域內，證明：0≤b＜1．

Answer 1

分析：（1）先對函數求導，若函數f（x）總存在有兩個極值點?f′（x）=0有兩個根，從而確定a，b的關系
（2）轉化為在（-1，1）內f′（x）=0有兩個不等實根
結合（1）及根的分布可知，

a2＜4b -1＜ a 2 ＜1 f′(1)＞0 f′(-1)＞0

?

a2＜4b -2＜a＜2 a+b+1＞0 a-b-1＜0

，從而求b的取值范圍
（3）若函數f（x）恰有一個極值點且存在a∈R，使A在不等式①

|x ＜1 |y|＜e

?x²-ax+b=0的根在①的區域內只有一個，結合根的分別可求結果．

解答：解：（1）f′(x)=a•e

a

x

+(ax-b)(-

a

x2

)•e

a

x

令f'（x）=0得x²-ax+b=0
∵函數f（x）總存在有兩個極值點
∴x²-ax+b=0由2個不同的實數根
∴a²-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴b＜

a2

4

且b≠0（3分）
（2）x²-ax+b=0在（-1，1）有兩個不相等的實根．
即

△=a2-4b＞0 -1＜ a 2 ＜1 1+a+b＞0 1-a+b＞0

得

4b＞a2 a2＜4 b＜-1

∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0?x²-ax+b=0（x≠0）
①當b=0f′(x)=a•e

a

x

•

x2-ax+b

x2

在x=a左右兩邊異號
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一個極值點
由題意知

-1＜a＜1且a≠0 -e＜(a2-b)e＜e

即

0＜a2＜1 -1＜a2＜1

即0＜a²＜1
存在這樣的a的滿足題意
∴b=0符合題意（9分）
②當b≠0時，f′（x）=

a•e a x

x2

(x2-ax+b)
△=a²-4b=0即4b=a²
這里函數y=f（x）唯一的一個駐點為(

a

2

，f(

a

2

))
由題意

| 1 2 a|＜1且a≠0 -e＜ a2 2 -b＜e

即

0＜a2＜4 -e 1 2 ＜ a2 2 -b＜e 1 2

即

0＜4b＜4 -e 1 2 ＜b＜e 1 2

∴0＜b＜1（13分）
綜上知：滿足題意b的范圍為b∈[0，1）．（14分）

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件及有限制條件的極值的取值，結合二次函數的圖象，轉化為實根分布問題．