Question

（本題滿分為12分）
在四棱錐中，底面，,,,,是的中點．

（I）證明：；
（II）證明：平面；
（III）求二面角的余弦值．

Answer 1

（I）關鍵證明面，（II）平面.（III）

試題分析：（I）證明：底面，.又面，
面，.                                                （3分）
（II）證明：,是等邊三角形，，又是 的中點，，又由（1）可知，
面
又底面，，
又面
平面.                                                           （6分）
（III）解：由題可知兩兩垂直,
如圖建立空間直角坐標系,

設，則
.
設面的一個法向量為
 
即 取則，即
（9分）
設面的一個法向量為
 
即 取則即

由圖可知二面角的余弦值為．             （12分）
點評：在立體幾何中，證明直線與直線垂直、直線與平面垂直常用到直線與平面垂直的判定定理。另外，假如幾何體是規則的圖形，還是建立空間直角坐標系，用向量去解決問題較方便。