Question

（2006•寶山區二模）已知f（x）=

10x+a

10x+1

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數 f^-1（x），判斷f^-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數y=F（x）是以2為周期的奇函數，當x∈（-1，0）時，F（x）=f^-1（x），求x∈（2，3）時F（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）是定義在實數集上的奇函數，由f（0）=0求解a的值；
（2）由函數解析式利用指數式和對數式的互化求解x，把x和y互換后得到原函數的反函數，然后利用就行的定義證明奇偶性；
（3）由2＜x＜3兩邊同時乘以-1，再加2后求出2-x的范圍，代入F（x）=f^-1（x），再利用周期函數的性質得到x∈（2，3）時F（x）的表達式．

解答：解：（1）∵f（x）=

10x+a

10x+1

是奇函數，由f（0）=

1+a

2

=0，得a=-1；
（2）由y=f（x）=

10x+a

10x+1

，
得y•10x+y=10x-1⇒10x(y-1)=-1-y⇒10x=

1+y

1-y

＞0，
∴x=lg

1+y

1-y

⇒f-1(x)=lg

1+x

1-x

(-1＜x＜1)．
而f-1(-x)=lg

1-x

1+x

=-lg

1+x

1-x

=-f-1(x)，
∴f^-1（x）在（-1，1）上是奇函數；
（3）因為當-1＜x＜1時，F（x）=f^-1（x）
∴當2＜x＜3時，-3＜-x＜-2⇒-3+2＜2-x＜0⇒-1＜2-x＜0
∴2-x∈(-1，0)，F(2-x)=f-1(2-x)=lg

1+2-x

1-2+x

=lg

3-x

x-1

，
又∵F（x）是以2為周期的奇函數，
∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）⇒-F(x)=lg

3-x

x-1

⇒F(x)=-lg

3-x

x-1

∴F(x)=lg

x-1

3-x

(2＜x＜3)．

點評：本題考查了函數的性質，考查了函數的反函數的求法，訓練了指數式和對數式的互化，通過對定義域的變化求解函數解析式是解答該題的關鍵，是中檔題．