Question

【題目】設函數，其中．

若，求函數在區間上的取值范圍；

若，且對任意的，都有，求實數a的取值范圍．

若對任意的，，都有，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）； （3） .

【解析】

（1）判斷在上的單調性，根據單調性求出的最值，得出值域；

（2）令，根據對稱軸與區間，求出得最大值，令，解出的取值范圍；

（3）設函數在區間上最大值為M，最小值為，對任意的，都有等價于，結合二次函數的圖象與性質，即可求解．

因為，

所以在區間上單調減，在區間上單調增，且對任意的，都有，

若，則．

當時單調減，從而最大值，最小值．

所以的取值范圍為；

當時單調增，從而最大值，最小值．

所以的取值范圍為；

所以在區間上的取值范圍為

“對任意的，都有”等價于“在區間上，”．

若，則，

所以在區間上單調減，在區間上單調增．

當，即時，

由，得，

從而．

當，即時，由，得，

從而．

綜上，a的取值范圍為區間

設函數在區間上的最大值為M，最小值為m，

所以“對任意的，，都有”等價于“”．

當時，，．

由，得．

從而．

當時，，．

由，得

．

從而．

當時，，．

由，得．

從而．

當時，，．

由，得．

從而．

綜上，t的取值范圍為區間