Question

長方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的正方形，AA₁=4，
（1）說出BD₁與平面ABCD所成角，并求出它的正切值；
（2）指出 二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求證：AC⊥BD₁．

Answer 1

分析：（1）由長方體的幾何特征，我們易得∠D₁BD即為BD₁與平面ABCD所成角，解Rt△D₁BD即可求出BD₁與平面ABCD所成角的正切值；
（2）連接BD，交AC于O，易得∠D₁OD為二面角D₁-AC-D的平面角，解Rt△D₁OD即可求出二面角D₁-AC-D的平面角的正切值；
（3）由長方體的幾何特征，可得DD₁⊥AC，DB⊥AC，由線面垂直的判定定理，即可得到AC⊥面BDD₁，再由線面垂直的性質，即可得到AC⊥BD₁．

解答：解：（1）BD₁與平面ABCD所成角為∠D₁BD，（1分）
在Rt△D₁BD中，DD₁=4，BD=2

2

，tan∠D1BD=

4

2 2

=

2

（3分）
（2）連接BD，交AC于O，∠D₁OD為二面角D₁-AC-D的平面角，
在Rt△D₁OD中，DD₁=4，OD=

2

，tan∠D1OD=

4

2

=2

2

（6分）
（3）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴DD₁⊥面ABCD，∴DD₁⊥AC
正方形ABCD中，DB⊥AC
DD₁∩DB=D
∴AC⊥面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，（8分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，熟練掌握長方體的幾何特征，進而分析出BD₁與平面ABCD所成角的平面角，分析出二面角D₁-AC-D的平面角，將空間線面夾角及二面角問題轉化為解三角形問題，是解答本題的關鍵．