（04年全國卷Ⅱ理）(14分)
已知函數f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．
(1)求函數f(x)的最大值；
(2)設0＜a＜b，證明：0＜g(a)＋g(b)－2g(
)＜(b－a)ln2．
解析：(I)解：函數f(x)的定義域是(-1,∞),
(x)=
.令(x)=0，解得x=0，當-1<x<0時, (x)>0,當x>0時,(x)<0，又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0
(II)證法一：g(a)+g(b)-2g(
)=alna+blnb-(a+b)ln=a
.
由(I)的結論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由題設0<a<b,得
,因此
,
.
所以a>-
.
又
a<a
綜上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
(II)證法二：g(x)=xlnx,
,設F(x)= g(a)+g(x)-2g(
),
則
當0<x<a時
因此F(x)在(0,a)內為減函數當x>a時
因此F(x)在(a,+∞)上為增函數從而，當x=a時，F(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().
設G(x)=F(x)-(x-a)ln2,則
當x>0時,
,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數，因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（04年全國卷IV理）（12分）
某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題.競賽規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分.假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.
（Ⅰ）求這名同學回答這三個問題的總得分
的概率分布和數學期望；
（Ⅱ）求這名同學總得分不為負分（即≥0）的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（04年全國卷III理）（14分）
已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.
⑴寫出數列{an}的前3項a1,a2,a3；
⑵求數列{an}的通項公式；
⑶證明：對任意的整數m>4，有
.
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（ ）
D．－
是奇函數，則當
時，
，設
的反函數是
，則