Question

記公差d≠0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝2＋，S₃＝12＋．

（1）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；

（2）記b_n＝a_n－，若自然數n₁，n₂，…，n_k，…滿足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且，，…，，…成等比數列，其中n₁＝1，n₂＝3，求n_k（用k表示）；

（3）試問：在數列{a_n}中是否存在三項a_r，a_s，a_t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比數列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為a₁＝2＋，S₃＝3a₁＋3d＝12＋，所以d＝2．…………………2分

所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n＋，……………………………………………………………3分

S_n＝＝n²＋(＋1)n．………………………………………………………………5分

（2）因為b_n＝a_n－＝2n，所以＝2n_k．………………………………………………7分

又因為數列{}的首項＝，公比，所以．…………9分

所以2n_k，即n_k．……………………………………………………………10分

（3）假設存在三項a_r，a_s，a_t成等比數列，則，

即有，整理得．…………12分

       若，則，因為r，s，t∈N^*，所以是有理數，這與為無理數矛盾；………………………………………………………………………………14分

       若，則，從而可得r＝s＝t，這與r＜s＜t矛盾．

       綜上可知，不存在滿足題意的三項a_r，a_s，a_t．……………………………………………16分