Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：由三視圖可得幾何體為水平放置的直三棱柱，且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a；（1）連接DB，易證FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，由線面垂直的判定定理和線面垂直的定義，可得結(jié)論；（2）經(jīng)分析得，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，GP∥面FMC，下面根據(jù)面面平行的判斷和性質(zhì)可得結(jié)論．
解答：證明：由三視圖可得幾何體為水平放置的直三棱柱，
且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a
（1）連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN，
又FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，AD∩CD=D，所以FD⊥面ABCD，F(xiàn)D⊥AC
又DN∩FD=D，∴AC⊥面FDN，又GN?面FDN
故可得：GN⊥AC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，有GP∥面FMC，下面證明：
取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點(diǎn)，∴GS∥FC，AS∥CM，
∴面GSA∥面FMC，GA?面GSA
∴GA∥面FMC，即GP∥面FMC
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，由題意判斷出該幾何體為直三棱柱以及數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，屬中檔題．