Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥CD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F分別在BC，AD上，EF∥AB．現將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若BE= ，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，且 ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值，并求此時二面角E﹣AC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起過程中，AF⊥EF，同時FD∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F為坐標原點，分別以FE，FD，FA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
當BE= 時，F（0，0，0），A（0，0， ），D（0， ，0），C（1， ，0），
平面ABEF的法向量 =（0， ，0），
∵ = ，∴ = + = ，
∴P（0， ， ），
∴ =（﹣1， ， ），
∵CP∥平面ABEF，∴ = =0，
解得 ，
∴線段AD上點P（0， ），且 ，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）設BE=x，則AF=x（0＜x≤2），FD=3﹣x，
∴VA﹣CDF= = =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴當x= 時，VA﹣CDF有最大值，且最大值為 ，
∴A（0，0， ），C（1， ，0），D（0， ，0），E（1，0，0），
∴ =（1，0，﹣ ）， =（1， ，﹣ ）， =（0，0， ）， =（1， ，0），
設平面AEC的一個法向量為 =（x，y，z），
則 ，取x=3，得 =（3，0，2），
設平面ACF的一個法向量 =（a，b，c），
則 ，取a=1，得 =（1，﹣2，0），
cos＜ ， ＞= = = ．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出FD⊥EF，FD⊥AF，以F為坐標原點，分別以FE，FD，FA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段AD上存在點P（0， ）， ，使得CP∥平面ABEF．（Ⅱ）設BE=x，則AF=x（0＜x≤2），FD=3﹣x，推導出當x= 時，VA﹣CDF有最大值，且最大值為 ，求出此時平面AEC的一個法向量和平面ACF的一個法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．