Question

（2012•淄博一模）已知函數f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）函數g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有兩解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0，建立方程組，從而可得函數y=f（x）的解析式；
（II）求導函數，確定函數的單調性與最值，從而可得不等式組，即可確定實數m的取值范圍．

解答：解：（I）求導函數可得f′(x)=

a

x

+2bx（x＞0）
∵函數f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴

a+2b=2 b=-1

∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x²；
（II）函數g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞0），則g′(x)=

4

x

-2x（x＞0）
∴當x∈[

1

e

，

2

)時，g′（x）＞0；當x∈(

2

，2]時，g′（x）＜0；
∴函數在[

1

e

，

2

)上單調增，在(

2

，2]上單調減
∵方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有兩解，
∴g(

1

e

)≤0，g(

2

)＞0，g(2)≤0
∴

-4- 1 e2 +m-ln4≤0 -2+m＞0 4ln2-4+m-ln4≤0

解得2＜m≤4-2ln2

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查函數與方程思想，屬于中檔題．