Question

已知點（x，y）是不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區域內的一個動點，且目標函數z=2x+y的最大值為7，最小值為1，則

a+b+c

a

的值為（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．-2
• D．-1

Answer 1

分析：根據題意，作出不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的三角形區域如圖，再將直線l：z=2x+y進行平移，可得使z取得最小值1的點A坐標為（1，-1），取得最大值7的點B坐標為（3，1），最后將A、B坐標代入第三個不等式對應的直線方程，可得b=-a，c=-2a，從而求出

a+b+c

a

的值．

解答：解：∵目標函數z=2x+y在不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區域內既有最大值，也有最小值
∴不等式組

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面區域是一個三角形區域（含邊界）
作出可行域如右圖，將直線l：z=2x+y，即y=-2x+z進行平移，可得
當l經過直線x=1和ax+by+c=0的交點A（1，y₀）時，z取得最小值1；
當l經過直線x+y=4和ax+by+c=0的交點B（x₁，y₁）時，z取得最大值7．
∴1×2+y₀=1，解之得y₀=-1且

x1+y1=4 2x1+y1=7

，解之得

x1=3 y1=1

因此，A的坐標為（1，-1），B的坐標為（3，1），代入不等式第三式對應直線，
可得

a-b+c=0 3a+b+c=0

，所以b=-a，c=-2a，可得

a+b+c

a

=

a+(-a)+(-2a)

a

=-2
故選C

點評：本題給出一個待定的平面區域，在已知目標函數的最值時求字母參數的比值，著重考查了簡單線性規劃的應用的知識，屬于中檔題．