Question

（2013•臨沂二模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)的離心率為

3

2

，且橢圓C上一點N到點Q（0，3）的距離最大值為4，過點M（3，0）的直線交橢圓C于點A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），當|AB|＜

3

時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率e=

3

2

及a²=b²+c²可得關于a，b的方程，由此可簡化橢圓方程，設N（x，y），則|NQ|可表示為關于y的函數，據此可求得其最大值為4，解得b，進而求得a；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），與橢圓方程聯立消掉y得x的二次方程，由△＞0得k2＜

1

5

，由韋達定理及

OA

+

OB

=t

OP

可用k、t表示出點P的坐標，代入橢圓方程得36k²=t²（1+4k²）①，由弦長公式及|AB|＜

3

可得k2＞

1

8

，故

1

8

＜k2＜

1

5

②，聯立①②可求得t的范圍；

解答：解：（Ⅰ）∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²，
則橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²．
設N（x，y），則|NQ|=

(x-0)2+(y-3)2

=

4b2-4y2+(y-3)2

=

-3y2-6y+4b2+9

=

-3(y+1)2+4b2+12

，
當y=-1時，|NQ|有最大值為

4b2+12

=4，
解得b²=1，∴a²=4，橢圓方程是

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
由△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，得k2＜

1

5

，
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

．
∴

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
則x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

．
由點P在橢圓上，得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，化簡得36k²=t²（1+4k²）①，
又由|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]＜3，
將x₁+x₂，x₁x₂代入得(1+k2)[

242k4

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3，化簡得（8k²-1）（16k²+13）＞0，則8k2-1＞0，k2＞

1

8

，
∴

1

8

＜k2＜

1

5

②，由①，得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

，聯立②，解得3＜t²＜4，
∴-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程、直線與橢圓的位置關系、向量的線性運算，考查學生的運算能力、解決問題的能力，綜合性較強．