Question

（1）設l₁、l₂是兩條異面直線，其公垂線段上的單位向量為n,又C、D分別是l₁、l₂上任意一點，求證:||=|·n|；

（2）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，求體對角線BD₁與面對角線B₁C的距離.

Answer 1

解析：（1）∵n=,∴·n=(++)·.

由于CA⊥AB，BD⊥AB，∴·=0，·=0.

因此|·n|=｜｜.

（2）如下圖所示，先找一個向量n,它既與BD₁垂直，又與B₁C垂直，設n=+λ+μDD₁，其中λ,μ為待定系數.由n·=（+λ+μ）·（++）=·+λ·+μ·=-a²-λa²+μa²=-a²(1+λ-μ)=0,

  

∴1+λ-μ=0.又由n·=（+λ+μ）·（+）=·+μ·=-a²-μa²=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2,

∴n=-2-，|n|=

又BC是連結這兩條異面直線BD₁與B₁C上的任意點的線段，由第（1）題知所求距離為d=

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