Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-x
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）記f（x）在區間[0，π]（n∈N^*）上的最小值為b_x令a_n=ln（1+n）-b_x．如果對一切n，不等式

an

＜

an+2

-

c

an+2

恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由導函數大于0求函數的增區間，導函數小于0求函數的減區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數f（x）在區間[0，n]（n∈N^*）上為減函數，則b_n=f（n），代入a_n=ln（1+n）-b_n后可得a_n，把不等式式

an

＜

an+2

-

c

an+2

分離出c后利用放縮法可求c的最大值．

解答：解：（I）因為f（x）=ln（1+x）-x，所以函數定義域為（-1，+∞），且f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

．
由f′（x）＞0，即

-x

1+x

＞0，得：-1＜x＜0，所以f（x）的單調遞增區間為（-1，0）；
由f′（x）＜0，即

-x

1+x

＜0，得：x＞0，所以f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）．
（II）因為f（x）在[0，n]上是減函數，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
則a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
如果對一切n，不等式

an

＜

an+2

-

c

an+2

恒成立，
等價于c＜

an+2

(

an+2

-

an

)對一切n∈N^*恒成立，
由

an+2

(

an+2

-

an

)=

n+2

(

n+2

-

n

)=

n+2

2

n+2 + n

＞

2 n+2

n+2 + n+2

=1．
因此c≤1，即實數c的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了分離變量法，訓練了利用放縮法求解不等式的最值，題目設置較為綜合，屬于難題．