Question

必做題，本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)M（4，0）．
（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；
（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．（6分）

Answer 1

必做題，本小題（10分）．
解：（1）由已知得F（1，0），又直線l過(guò)點(diǎn)M（4，0），
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l的方程為：x=4，點(diǎn)F到直線l的距離為3，與題意不符；
∴直線l斜率存在，設(shè)為k，則l的方程為：y=k（x-4），…（2分）
∵點(diǎn)F到直線l的距離為，
∴=，
∴k=±…（4分）
（2）設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)锳B不垂直于x軸，則直線MN的斜率為，直線AB的斜率為k_AB=，
直線AB的方程為，…（5分）
聯(lián)立方程
消去x得，…（7分）
所以，…（8分）
因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，所以，即，…（9分）
所以x₀=2．即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2．…（10分）
分析：（1）設(shè)出直線l的方程y=k（x-4），利用點(diǎn)F到直線l的距離為，即可求得k的值；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意直線MN的斜率為，直線AB的斜率為k_AB=，從而可得AB的方程，與拋物線y²=4x聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，著重考查點(diǎn)到直線間的距離公式及直線與圓錐曲線的聯(lián)立，突出考查方程思想與化歸思想，屬于難題．