Question

已知{a_n}為遞增的等比數列，且{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）是否存在等差數列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由{a_n}為遞增的等比數列，得到數列{a_n}的公比q＞0，且a₁＞0，又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，可得出a₁，a₃，a₅三項，則公比可求，通項可求．
（II）先假設存在等差數列{b_n}，由所給式子求出b₁，b₂，公差可求，通項可求，證明當b_n=n時，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立，用錯位相減法求得此數列是適合的．

解答：解：（I）因為{a_n}是遞增的等比數列，所以數列{a_n}公比q＞0，首項a₁＞0，
又{a₁，a₃，a₅}?{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）
從而q2=

a3

a1

=4，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1（6分）
（II）假設存在滿足條件的等整數列{b_n}，其公差為d，則當n=1時，a₁b₁=1，
又∵a₁=1，∴b₁=1；
當n=2時，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2
則d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下證明當b_n=n時，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立．
設S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）
（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，
所以存在等差數列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2對一切n∈N*都成立（12分）

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，已知數列為等比數列，求通項公式，求首項和公比即可；用錯位相減法求數列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數列的項與等比數列的項的乘積；考查推理論證能力、運算求解能力，考查特殊與一般思想．